整数問題には割算や余りについての問題も含まれています。小学生でも挑戦できる、シンプルな良問を紹介します。

 

問 太郎君のおじいさんの年は、その数を3, 5, 7で割ると余りがそれぞれ1, 2, 3になります。おじいさんの年齢はいくつでしょうか。 

この問題を一般化すると

問 3, 5, 7, 9, … , 2n+1で割ると余りがそれぞれ1, 2, 3, 4, … , nになる自然数

を求める問題です。

高校生はこちらにチャレンジしてみてください。数年前から数学Aのカリキュラムに組み込まれている「不定方程式」と関係がある問題です。答えは、mを整数として、それぞれ3m+1, 15m+7, 105m+52, 945m+787, …と続きます。mの係数は1, 3, 5, …の最小公倍数、それに続く定数項は題意を満たす最小の自然数です。ですから太郎君のおじいさんの年齢は52歳でした。この最小の自然数の並び、1, 7, 52, 787, …が数学的には魅力的なのかもしれませんが、この続きはまた改めて別の機会で紹介したいと思います。

T20131203.jpg